Griffiths Elettrodinamica | Problema 2.45 (Parte a) (2023)

introduzione

Dall'introduzione di Griffiths all'elettrodinamica 4a edizione [Pearson Education, Inc.].

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La soluzione effettiva potrebbe differire dalla mia mostrata qui.

Accolgo con favore qualsiasi correzione agli errori che ho fatto!

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In questo problema, il nostro obiettivo è trovare il campo elettrico che si trova a distanze, z sopra il centro di una zona quadrata di carica elettrica uh con una densità di carica di sigma e uno quando possiamo affrontare questo problema è che possiamo usare un precedente rispondi da.

Penso blu.

Questo è il problema 2.4, dove abbiamo trovato invece di una patch, è un loop quadrato qui.

Quindi queste sono linee infinitamente sottili, segmenti e um.

Possiamo provare a renderli piccoli e semplicemente integrarli, continuare ad aggiungerli finché non arriviamo a una patch completa qui e alla risposta al problema che abbiamo ottenuto nel problema precedente, 2.4, dove è solo che il ciclo quadrato è uguale a questo qui, e una breve panoramica di questa risposta qui è che abbiamo trovato il campo elettrico da uno dei lati e abbiamo estratto solo il componente z, perché se guardiamo a tutti gli altri componenti, lo faranno essere uguale e opposto, ad eccezione della componente z, dove la componente z sarà in realtà uh costruttiva.

Quindi abbiamo estratto il componente z.

È proprio qui, e poi abbiamo semplicemente moltiplicato per 4 per ogni lato ed è quello che è questo 4 qui, e quindi il nostro bagliore, come puoi vedere, uh proprio ora, è trasformare questo um sigma o scusa.

Questo lambda, che è la linea, carica la densità in un um in un sigma che è una uh superficie, densità di carica proprio qui e lì sarà come una relazione che dobbiamo moltiplicare per cambiare questo, e così per fare Questo.

Per trasformare questa linea infinitamente sottile, il segmento di carica in un um, una carica di area infinitamente piccola è solo dare a queste piccole linee, grafici um un po 'di spessore giusto.

Quindi un modo per farlo è solo per um.

Sai, dagli uno spessore infinito d, una destra, e poi questo finisce per non essere corretto, perché andrò avanti e lo disegnerò proprio qui è: se lo facciamo, e lo facciamo per tutti e quattro i lati, puoi vedere che ci mancano uh piccole toppe quadrate proprio qui va bene e questo finisce per non essere corretto.

Un modo in cui possiamo provare a correggere questo è semplicemente aggiungere un po' di patch proprio qui, ma anche questo finisce per non essere corretto perché uh, se tracciamo la linea qui, ci sarà meno area qui che su questo lato, perché ci sarà una piccola macchia quadrata in più proprio qui, quindi vogliamo che ci stiamo avvicinando, ma vogliamo solo che sia simmetrico.

Un modo in cui possiamo farlo e finisce per essere il modo corretto è quello di aggiungere effettivamente una piccola quantità di spessore proprio lì.

Fammi solo cancellare questi con questo.

Questo spessore proprio qui finisce per essere um d.

A su due.

Questo spessore finisce per essere d su due, quindi essenzialmente stiamo solo prendendo quel cerotto.

Inizialmente ho disegnato tagliandolo a metà e aggiungendo uno di quei lati qui, va bene e quindi con quegli spessori da oltre 2.

Ciò significa che lo spessore di questo qui finisce per essere lo spessore di questo lato.

Proprio qui, giusto, se riesco a disegnarlo correttamente, finisce per essere un da su 2., quindi solo per disegnarlo in modo più esplicito, avremo solo un uh.

Ognuno avrà un segmento di carica di linea che ha uno spessore quelli.

Quindi questi lati sono uguali a d fratto due e questa lunghezza totale è uguale a um da fratto due più, a più d fratto 2, che è proprio uguale a a più d, a proprio qui.

Quindi lo spessore che abbiamo aggiunto è d a su 2.

Quindi questo è esattamente ciò per cui moltiplicheremo il sigma ed è così che trasformeremo il sigma in o trasformeremo questa densità di carica di linea in una densità di carica dell'area qui e poiché, come ho detto, il nostro obiettivo è fare un integrazione, quindi integreremo da a = zero, quindi infinitamente piccolo, praticamente zero, fino a d a destra, quindi aggiungeremo a an integrazione qui.

Quindi vado avanti e mi sposto qui e faccio solo questa sostituzione per sigma e poi aggiungo il nostro segno integrale qui, e i nostri limiti di integrazione vanno da 0 a a lo chiameremo semplicemente numero primo.

Ora, invece di un sigma, abbiamo a o invece di un lambda, abbiamo un sigma per d, una su due stessa sostituzione che abbiamo fatto per questo qui e tutto il resto rimane lo stesso.

Ok, e questo è il componente z.

Quindi questa è la nostra d, a per la nostra um integrazione proprio qui, andremo avanti e ripuliremo alcuni termini adesso.

Quindi tiriamo fuori questo, quindi questo 4 si annulla con quel 4 um, e poi possiamo tirare fuori questi due nel passaggio successivo qui.

Ok, quindi a questo punto um, sai un po' difficile da dire ma uh un suggerimento è che puoi mettere un totale dall'alfa e lo farà.

Te lo dico, ma il nostro prossimo passo è fare la tua sostituzione, uh stai davvero cercando di trasformare questo in? Sei proprio qui, ehm! Quindi un modo che possiamo fare.

Questo è solo dire che! U è uguale a quel termine.

Ho appena cerchiato: u è uguale a a al quadrato sopra quattro a destra, e questo significa che um d? U quindi, se uh prendiamo a an a derivata derivata rispetto ad a che finisce per essere uh this e poi, se risolviamo per il nostro d a per fare quella sostituzione, il nostro uh d a è uguale a 2d.

U risolvendo per d, a perché i matematici lo adorano così possiamo andare avanti e fare quelle sostituzioni in questo problema.

Questa espressione proprio qui, vado avanti e sposto quel sigma fuori.

L'ho dimenticato.

È una costante! I nostri limiti di integrazione cambiano.

Quindi ora abbiamo più di due su quattro.

Abbiamo uno z um.

Abbiamo fatto quella sostituzione per d.

Un proprio qui può già vedere un sacco di cose che possiamo cancellare bene, due volte: sì e poi c'è un cappello.

Quindi andiamo avanti e ripuliamo alcune cose qui e poi questi due possono annullarsi con questi due qui.

Ok, va bene, riscriviamo tutto ciò che possiamo estrarre da quella z.

Quello si stava nascondendo proprio qui, dato che è solo una costante rispetto all'integrale d.

Ora abbiamo un pi sopra epsilon zero e abbiamo d- u sopra.

Quindi questo è l'intero obiettivo che stiamo cercando di raggiungere questo diritto integrale.

Qui non è bello, ma è meglio di quello che avevamo prima.

Va bene e così di nuovo, ci sono molti modi diversi.

Potresti attaccare questo integrale uh, tabelle integrali um pura intelligenza, ma preferisco usare uh calcolatrice perché è 20 21, al momento della registrazione di questo integrale o della registrazione di questo video um, quindi l'integrale indefinito per quel diritto.

C'è solo uh, due tangenti: due: u più quanto fa z, al quadrato su z e la radice quadrata e poi tutto diviso per z e a al quadrato su 4 0, e questo è ancora un cappello z e possiamo solo andare avanti e cancella queste z proprio qui dato che finora sono fattorizzabili bene, quindi bene che ci siamo quasi.

Questa è solo matematica in questo momento, abbiamo già fatto la maggior parte della fisica bene, e poi, vediamo qui, possiamo andare avanti e tirare fuori anche quei due.

Quindi vado avanti e metto anche questo e oops, e questo sembra già promettente giusto.

Questo è un fattore um molto familiare che compare molto in elettrodinamica, elettrostatica, quindi andremo avanti ed eseguiremo questo integrale indefinito ok, meno tangente, inverso di um.

In realtà ho saltato il passaggio.

Scusa, quindi è davvero che lo renderò più esplicito, e sai che questi finiranno per cancellare che finisce per essere un 2, poi tangente, inverso di 0 più z, al quadrato sopra z radice quadrata.

Tutto questo finisce per essere un componente z hat proprio lì, quindi tutto finisce per essere um, uh radice quadrata di radice quadrata di z, al quadrato su z, quindi uh finisce.

Oh scusa, non è una grande radice quadrata, la radice quadrata di z, al quadrato di z, e quindi tutta questa cosa finirà per essere uno oops.

Facciamo una parentesi perché qui le cose diventeranno un po' più complicate, quindi possiamo refactoring o semplicemente iniziare a scomporre altre cose dividendo per z per tutto.

È sotto questo segno di radice quadrata tangente, inversa di uh uno è uguale a pi greco fratto quattro, e questa è ancora la componente z quasi lì per questa prima parte, va bene ora che abbiamo questo um, possiamo fare qualcosa di un po' complicato .

Possiamo farlo in arancione.

Possiamo moltiplicare per uno nella forma di questo qui per tutto quello che sai, lo copio e incollo.

Non so se sarà effettivamente più veloce.

In questo modo, siamo in grado di distribuirlo qui e trasformarlo in uno solo.

Ciò significa che anche questo ragazzo ne avrà uno.

Questa è una z.

Vediamo che è stato molto sciatto.

Fammi rifare.

Quindi era questa radice quadrata, è come tutte, curvy meno uno, tutte ancora sotto uh, la componente z proprio qui e poi quello a cui siamo arrivati ​​è um.

In realtà, ne faremo un altro, c'è ancora molto che possiamo cancellare qui, va bene.

Quindi ora abbiamo, vediamo qui sigma su 2 epsilon 9.

È enorme! Quel fattore.

Quel fattore è estremamente comune nell'elettrostatica, quindi sappiamo sicuramente che probabilmente siamo abbastanza vicini a qualcosa.

È utile, meno uno va bene.

Quindi questa è la nostra risposta per la prima parte del problema.

Questo è il campo elettrico in un punto, z sopra il centro di un quadrato proprio qui, e poi lo useremo per verificare che sia effettivamente corretto, perché non è come un campo del tutto familiare forma, anche se questo suggerisce qualcosa di veramente buono.

Utilizzeremo questo problema con questo modulo per la parte successiva del problema per verificare che sia effettivamente corretto.

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Author: Laurine Ryan

Last Updated: 09/29/2023

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